Τελικά = finally, eventually, after all, in the end.
examples:
Τελικά αποφάσισε να πάει διακοπές στην Κρήτη. Finally he decided to go for vacation in Crete.
Τελικά βρήκες καπέλο να φορέσεις? Did you finally find a hat to wear?
Ο πατέρας έδωσε τελικά τη συγκατάθεσή του για το γάμο. After all, the father gave his consent to the marriage.
Επιτέλους = at last.
examples:
Επιτέλους φτάσαμε στην Κρήτη. At last, we arrived to Crete.
Αποφάσισε επιτέλους που θέλεις να πάμε. Βαρέθηκα να περιμένω. = At last, decide where you want us to go. I am tired of waiting.
Επιτέλους indicates a longer period of waiting or delay that comes to a pleasant end. You may say:
Αν και διάβασε πολύ, τελικά δε κατάφερε να περάσει τις εξετάσεις. = Although he studied a lot, in the end, he did not pass the exam.
You would never use "επιτέλους" here.
Also, check this answer: https://learn-greek-online.com/ask-greek/987/after-all-translation
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vasiliki Baskou, Instructor/Director, https://learn-greek-online.com.